Вопрос пользователя:
Вне плоскости треугольника ABC лежит точка D. На отрезках AB, AC,AD выбраны соответственно точки M, N,P так, что AM : MB= AN : NC = AP : PD. Доказать,что плоскости (MNP) и (DBC) параллельны.
Илюха отвечает:
Если забыть про условие задачи и поступить так – провести через выбранную точку Р на AD плоскость II DBC. Точки пересечения АВ и АС с этой плоскостью обозначим M1 и N1. Легко показать, что прямая РN1 II DC (если бы это было не так, то у параллельных по построению плоскостей DBC и PM1N1 была бы общая точка), и отношение AN1 : N1C = AP : PD по свойству параллельных прямых в плоскости (это свойство – что параллельные прямые отсекают пропорциональные отрезки у любых секущих). В плоскости ADC через точку Р можно провести ТОЛЬКО одну прямую II DC, поэтому прямая PN1 совпадает с прямой PN (точка N задана в задаче). Точно так же доказывается, что PM1 II DB и совпадает с прямой РМ (точка М задана в задаче).
Итак, получилось, что плоскость, параллельная DBC, проходящая через точку P, содержит точки M и N (или можно сказать – две проходящие через Р несовпадающие прямые MP и NP). Поскольку через 3 различных точки (или можно сказать – через 2 несовпадающие пересекающиеся прямые) можно провести ТОЛЬКО одну плоскость, то утверждение задачи доказано.