Вопрос пользователя:
Вершины четырёхугольника ABCD делят окружность в отношении 1:2:5:4. Найдите углы этого четырёхугольника.
Илюха отвечает:
Смотри рисунок к задаче в прикрепленном файле.
Вершины четырехугольника делят окружность на дуги. Обозначим одну часть через х°.
Тогда градусная мера дуги АВ=х, дуги ВС=2х, дуги CD=5х, дуги DA=4х.
В сумме все эти дуги дают 360°
х+2х+5х+4х=360
12х=360
х=30.
Значит дуга АВ 30°, дуга ВС 2*30°=60°, дуга CD=5*30°=150°, дуга DA 4*30°=120°.
Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Угол А опирается на дугу ВD. ВD=ВС+CD=60°+150°=210°.
∠А=210°:2=105°
Угол В опирается на дугу АС. АС=СD+DA=150°+120°=270°
∠В=270°:2=135°.
Угол С опирается на дугу DB. DB=DA+AB=120°+30°=150°
∠С=150°:2=75°.
∠D=360°-(105°+135°+75°)=45°.
Ответ: ∠А=105°, ∠В=135°, ∠С=75°, ∠D=45°.