Вопрос от посетителя:
y”-4y’+4y=8x^2-10 y(0)=0; y’ (0)=1
Илюха отвечает:
Сначала ищем общее решение однородного уравнения. Составим характеристическое ур-ие:
k^2 – 4k + 4 = 0, (k-2)^2 = 0, k1 = k2 = 2.
Общее решение однородного ур-ия: у(о.о) = (C1 + C2x)e^2x.
Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:
У = Аx^2 + Bx + C.
Подставим в исходное уравнение:
2A – 8Ax – 4B + 4Ax^2 + 4Bx + 4C = 8x^2 – 10
Составим систему для коэффициентов А,В,С:
4А = 8;
4В – 8А = 0;
2А – 4В + 4С = -10.
Или:
А = 2;
В = 4;
С = 1/2.
Значит частное решение неоднородного уравнения имеет вид:
у(ч.н) = 2x^2 + 4x + 1/2.
Общее решение неоднородного уравнения равно сумме у(о.о) и у(ч.н):
у = (C1 + C2x)e^2x + 2x^2 + 4x + 1/2.
Теперь исходя из начальных условий найдем С1 и С2:
у(0) = С1 + 1/2 = 0, или С1 = -1/2.
у штрих(0) = 2С1 + С2 + 4 = 1, или С2 = -2.
С учетом найденного ответ будет равен:
у = -(0,5 + 2х)e^2x +2x^2 + 4x + 0,5.