Вопрос от посетителя:
x^3 – 4x = b*sqrt(b+4)
Илюха отвечает:
сразу заметим что при b<-4 уравнение корней не имеет
сделаем замену
sqrt(b+4)=t>=0
тогда b=t^2-4
уравнение перепишется в виде
x^3 – 4x = t(t^2-4)=t^3-4t
(один корень x=t “угадывается”)
x^3-4x-t^2+4t=0, раскладываем на множители
(x-t)(x^2+tx+t-4)=0
x=t или x^2+tx+t-4=0
решаем второе уравнение
x^2+tx+t-4=0
выделяем в левой части полный квадрат
x^2+tx+t^2/4-t^2/4+t-4=0
или
(x+t/2)^2=t^2/4-t+4
(заметим что t^2/4-t+4=(t/2-1)^2+3>0 для любого t)
поэтому получаем еще корни
x=-t/2+корень(t^2/4-t+4) или x=-t/2+корень(t^2/4-t+4)
возвращаясь к замене
x=t=sqrt(b+4)
x=-t/2+корень(t^2/4-t+4)=-sqrt(b+4)/2 + корень( (b+4)^2/4-sqrt(b+4)+4)
x=-sqrt(b+4)/2 – корень( (b+4)^2/4-sqrt(b+4)+4)
ответ: при b>=-4
sqrt(b+4)
-sqrt(b+4)/2 + корень( (b+4)^2/4-sqrt(b+4)+4)
-sqrt(b+4)/2 – корень( (b+4)^2/4-sqrt(b+4)+4)
з.і. кажись так