x^2+12y=-68 y^2-4x=28 Пожалуйста, помогите вот эту систему решить…

от

Вопрос от посетителя

x^2+12y=-68

y^2-4x=28

Пожалуйста, помогите вот эту систему решить…

Отвечает Илюха:

8y^2 – 4x = 28end{cases}” title=”begin{cases} x^2 + 12y= -68y^2 – 4x = 28end{cases}” alt=”begin{cases} x^2 + 12y= -68y^2 – 4x = 28end{cases}” />

Сделаем простую подстановку 

x = t + 2; y = u + 6

begin{cases} t^2 -4t + 4 +12u + 72 = -68u^2 +12u +36 - 4t +8 = 28end{cases}

begin{cases} t^2 -4t +12u = -144u^2 -4t +12u = -16end{cases}

Введем новую переменную 

 = 4t – 12u” title=”z = 4t – 12u” alt=”z = 4t – 12u” />

Получаем систему 3 уравнений

begin{cases} z =t^2 +144z = u^2 +16z = 4t - 12uend{cases}

Не то что бы эта система была проще исходной, но зато уже можно понять, как её решать. Прежде всего, видно, что z больше нуля (и не просто, а ГОРАЗДО :), z >=144) 

Далее, предаставим t и u в виде радикалов, подставим в третье и получим давольно простое на вид уравнение вида

z = 4sqrt{z -144} - 12sqrt{z - 16}

Решать его очень просто – переносим один из радикалов в левую часть, возводим в квадрат, при этом сокращаются свободные члены (эту удачу можно было предвидеть :)), сокращаем на z, которая строго больше нуля, и вроде бы получаем решение. Однако мы получим неверное решение z = 144 + 16, которое этому уравнению не удовлетворяет. В чем же дело? А дело в том, что, записав уравнение для z, мы уже потеряли решение. Приглядевшись к системе, мы видим, что должны учитывать не только положительные значения радикалов, но и отрицательные. Проще говоря, у нас есть второе уравнение для z

z = 4sqrt{z -144} + 12sqrt{z - 16}

Это уравнение имеет действительное решение z = 144 + 16 = 160; (я пока выпишу решение системы, а как решается это уравнение, покажу в конце, заодно и объясню, в каком месте видно, что, если минус в исходном уранении, то решений нет.)

Итак 

t = 4; u = -12;

(!!!! – вот он, минус перед радикалом) остальные решения не годятся из-за знака. 

Отсюда имеем

x= 2; y = -6;

Это решение исходной системы.

 

Вернемся к уравнению

z = 4sqrt{z -144} + 12sqrt{z - 16}

Для того, чтобы была хоть какая-то польза, представим его в виде

z = asqrt{z -b^{2}} + bsqrt{z - a^{2}}

Решение 

z - bsqrt{z - a^{2}} = asqrt{z -b^{2}} z^{2} - 2zbsqrt{z - a^{2}} + b^{2}(z - a^{2}) = a^{2}(z -b^{2})2bsqrt{z - a^{2}} = z - a^{2} + b^{2}

Вот оно, то самое место, где минус в первоначальном уравнении для z приводит к нерешаемому уравнению (в действительных числах). В случае минуса правая часть будет с другим знаком, и мы получаем равенство отрицательной и положительной величин. Однако в случае плюса ничего такого нет, и мы смело возводим обе ЗАВЕДОМО положительные величины в квадрат. Получаем.

4b^{2}(z - a^{2}) = z^2 -2z(a^{2} - b^{2}) +(a^{2} - b^{2})^{2}(z - (a^{2} + b^{2}))^{2} = 0z = a^{2} + b^{2}

Подставляем а  = 4 и b = 12, получаем решение.

 

 

 

 

 

Добавить свой ответ