Вопрос от посетителя:
s четырёхугольника MNKP ,описанного около окружности R=8 см, равна 182 см2.Найдите стороны четырёхугольника, если известно что PK на 6 см больше MN и NK относится к MP как 7 к 6
Илюха отвечает:
В описанном 4-нике суммы противоположных сторон равны.
MN+PK = NK+MP.
Пусть МN = x, MP = y
x+(x+6) = y + 7y/6
2x + 6 = 13y/6
Проведем биссектрисы углов 4-ника, Они пересекутся в т.О – центре вписанной окружности. MNKP состоит из 4-х треугольников:
S(MON) = MN*R/2
S(NOK) = NK*R/2
S(KOP) = KP*R/2
S(MOP) = MP*R/2
Составим сумму площадей и приравняем ее 182.
R*(MN+NK+KP+MP)/2 = 182, и с учетом, что выражение в скобках – периметр – можно записать, как: Р = 2*13у/6 = 13у/3, а R = 8, получим:
4*13у/3 = 182
у = 14*3/4 = 10,5
Находим и другие стороны: 7у/6 = 12,25
2х+6 = 10,5 + 12,25 = 22,75
2х = 16,75
х = 8,375.
х+6 = 14,375.
Ответ: MN = 8,375 см; РК = 14,375 см; МР = 10,5 см; NK = 12,25 см.