log5 (3x-11)+log5 (x-27)=3+log5 8 Решите плиз срочно нада.

Вопрос пользователя:

Илюха отвечает:

ОДЗ нашего уравнение:   >27[/tex]

Преобразуем левую часть уравнения, используя тождество:

 log_{a}N_{1}+log_{a}N_{2}=log_{a}(N_{1}*N_{2})" title="x>27" title="log_{a}N_{1}+log_{a}N_{2}=log_{a}(N_{1}*N_{2})" title="x>27" alt="log_{a}N_{1}+log_{a}N_{2}=log_{a}(N_{1}*N_{2})" title="x>27" />

Преобразуем левую часть уравнения, используя тождество:

 log_{a}N_{1}+log_{a}N_{2}=log_{a}(N_{1}*N_{2})" alt="x>27" title="log_{a}N_{1}+log_{a}N_{2}=log_{a}(N_{1}*N_{2})" alt="x>27" alt="log_{a}N_{1}+log_{a}N_{2}=log_{a}(N_{1}*N_{2})" alt="x>27" />

Преобразуем левую часть уравнения, используя тождество:

 log_{a}N_{1}+log_{a}N_{2}=log_{a}(N_{1}*N_{2})" />—–(1)

В нашем случае $a=5$ , 3x-11" title="log_{a}N_{1}+log_{a}N_{2}=log_{a}(N_{1}*N_{2})" />—–(1)

В нашем случае $a=5$ , 3x-11" alt="log_{a}N_{1}+log_{a}N_{2}=log_{a}(N_{1}*N_{2})" />—–(1)

В нашем случае $a=5$ , 3x-11" />, N_{2}=x-27" title="N_{2}=x-27" alt="N_{2}=x-27" />

Поэтому log_{5}(3x-11)+log_{5}(x-27)=log_{5}[(3x-11)(x-27)]" title="N_{1}=3x-11" title="log_{5}(3x-11)+log_{5}(x-27)=log_{5}[(3x-11)(x-27)]" title="N_{1}=3x-11" alt="log_{5}(3x-11)+log_{5}(x-27)=log_{5}[(3x-11)(x-27)]" title="N_{1}=3x-11" />, N_{2}=x-27" title="N_{2}=x-27" alt="N_{2}=x-27" />

Поэтому log_{5}(3x-11)+log_{5}(x-27)=log_{5}[(3x-11)(x-27)]" alt="N_{1}=3x-11" title="log_{5}(3x-11)+log_{5}(x-27)=log_{5}[(3x-11)(x-27)]" alt="N_{1}=3x-11" alt="log_{5}(3x-11)+log_{5}(x-27)=log_{5}[(3x-11)(x-27)]" alt="N_{1}=3x-11" />, N_{2}=x-27" title="N_{2}=x-27" alt="N_{2}=x-27" />

Поэтому log_{5}(3x-11)+log_{5}(x-27)=log_{5}[(3x-11)(x-27)]" />——(2)

Правую часть нашего уравнения также преобразуем с помощью тождества (1), предварительно представив слагаемое 3 в виде [tex]log_{5}5^{3}=log_{5}125" title="log_{5}(3x-11)+log_{5}(x-27)=log_{5}[(3x-11)(x-27)]" />——(2)

Правую часть нашего уравнения также преобразуем с помощью тождества (1), предварительно представив слагаемое 3 в виде [tex]log_{5}5^{3}=log_{5}125" alt="log_{5}(3x-11)+log_{5}(x-27)=log_{5}[(3x-11)(x-27)]" />——(2)

Правую часть нашего уравнения также преобразуем с помощью тождества (1), предварительно представив слагаемое 3 в виде [tex]log_{5}5^{3}=log_{5}125" />:

   $log_{5}125+log_{5}8=log_{5}(125*8)$ ——(3)

C учетом (2) и (3) исходное уравнение примет вид:

  (3x-11)(x-27)=log_{5}(125*8)" title="log_{5}[(3x-11)(x-27)=log_{5}(125*8)" alt="log_{5}[(3x-11)(x-27)=log_{5}(125*8)" />—–(4)

 Отсюда по свойству логарифма получим алгебраическое уравнение:

    (3x-11)(x-27)=125*8=1000[/tex], или раскрывая скобки, получим

    3x^{2}-81x-11x+297=1000" title="(3x-11)(x-27)=125*8=1000" title="3x^{2}-81x-11x+297=1000" title="(3x-11)(x-27)=125*8=1000" alt="3x^{2}-81x-11x+297=1000" title="(3x-11)(x-27)=125*8=1000" />, или раскрывая скобки, получим

    3x^{2}-81x-11x+297=1000" alt="(3x-11)(x-27)=125*8=1000" title="3x^{2}-81x-11x+297=1000" alt="(3x-11)(x-27)=125*8=1000" alt="3x^{2}-81x-11x+297=1000" alt="(3x-11)(x-27)=125*8=1000" />, или раскрывая скобки, получим

    [tex]3x^{2}-81x-11x+297=1000" />, или приведя подобные получим квадратное уравнение относительно x" title="x" alt="x" />:

         $3x^{2}-92x-703=0$

Найдем его дискриминант: $D=(92)^2-4*3*(-703)=4(23*23*4+3*703)=4*(2116+2109)=4*4225=4*(4200+25)=4*25(42*4+1)=100*169=(130)^2$  

Поскольку дискриминант положителен, то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня:

  $x_{1}=frac{92+130}{6}=frac{222}{6}=37$  удовлетворяет ОДЗ

  -frac{19}{3}" title="x_{2}=frac{92-130}{6}=-frac{38}{6}=-frac{19}{3}" alt="x_{2}=frac{92-130}{6}=-frac{38}{6}=-frac{19}{3}" /> не удовлетворяет ОДЗ.

Таким образом, только один корень квадратного уравнения является корнем исходного уравнения:   $x=x_{1}=37$

Вопрос пользователя:

Илюха отвечает:

Добавить свой ответ Отменить ответ