Вопрос пользователя:
5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы.
1 0 0
0 5 1
0 0 2
Илюха отвечает:
Исходная матрица имеет вид:
(1;0;0;0;5;1;0;0;2))
Составляем систему для определения координат собственных векторов:
(1 – λ)x1 + 0x2 + 0x3 = 0
0x1 + (5 – λ)x2 + 1×3 = 0
0x1 + 0x2 + (2 – λ)x3 = 0
Составляем уравнение и решаем его:
EQ A = bbc| (a al co3 hs3 (1 – λ;0;0;0;5 – λ;1;0;0;2 – λ)) = 0
λ3 + 8λ2 – 17λ + 10 = 0
Один из корней уравнения равен λ1 = 1
Тогда характеристическое уравнение можно записать как (λ -1)(λ2 + 7λ – 10)=0.
– λ2 +7 λ – 10 = 0
D = 72 – 4 • (-1) • (-10) = 9
EQ λ1 = f(-7+3;2•(-1)) = 2
EQ λ2 = f(-7-3;2•(-1)) = 5
Рассмотрим пример нахождения собственного вектора для λ1.
Составляем систему для определения координат собственных векторов:
Подставляя λ = 1 в систему, имеем:
0x1 + 0x2 + 0x3 = 0
0x1 + 4×2 + 1×3 = 0
0x1 + 0x2 + 1×3 = 0
Пусть x1 – свободное неизвестное, тогда выразим через него все остальные xi.