Вопрос пользователя:
3sin2x+cos2x=2
sin5х+cos 5х=
Помогите,пожалуйста!!!
Илюха отвечает:
Дано уравнение: 
—–(1)
Будем решать уравнение методом вспомогательного угла.
Преобразуем левую часть уравнения (1):
frac{1}{sqrt{2}}*cos5x)" title="sin5x+cos5x=1*sin5x+1*cos5x=sqrt{2}*(frac{1}{sqrt{2}}*sin5x+frac{1}{sqrt{2}}*cos5x)" alt="sin5x+cos5x=1*sin5x+1*cos5x=sqrt{2}*(frac{1}{sqrt{2}}*sin5x+frac{1}{sqrt{2}}*cos5x)" />, отсюда
=sqrt{2}*[sin(frac{pi}{4})*sin5x+cos(frac{pi}{4})*cos5x]" title="sin5x+cos5x=sqrt{2}*[sin(frac{pi}{4})*sin5x+cos(frac{pi}{4})*cos5x]" alt="sin5x+cos5x=sqrt{2}*[sin(frac{pi}{4})*sin5x+cos(frac{pi}{4})*cos5x]" />,
где в квадратных скобках стоит выражение, представляющее собой косинус разности углов 
и 
. Но так как косинус функция четная мы получаем два возможных случая:
а) =sqrt{2}*cos(5x-frac{pi}{4})" title="sin5x+cos5x=sqrt{2}*cos(5x-frac{pi}{4})" alt="sin5x+cos5x=sqrt{2}*cos(5x-frac{pi}{4})" />——-(2)
б) =sqrt{2}*cos(frac{pi}{4}-5x)" title="sin5x+cos5x=sqrt{2}*cos(frac{pi}{4}-5x)" alt="sin5x+cos5x=sqrt{2}*cos(frac{pi}{4}-5x)" />——–(3)
Решаем каждый случай в отдельности.
а) Левые части равенств (1) и (2) равны, значит равны их правые части:
sqrt{2}*cos(frac{pi}{4}-5x)" title="sqrt{2}*cos13x=sqrt{2}*cos(frac{pi}{4}-5x)" alt="sqrt{2}*cos13x=sqrt{2}*cos(frac{pi}{4}-5x)" />, или сокращая на 
cos(frac{pi}{4}-5x)" title="cos13x=cos(frac{pi}{4}-5x)" alt="cos13x=cos(frac{pi}{4}-5x)" />
Отсюда по свойству косинуса имеем:
frac{pi}{4}-5x=2pi*k" title="13x+frac{pi}{4}-5x=2pi*k" alt="13x+frac{pi}{4}-5x=2pi*k" />, или
=frac{pi*k}{4}–frac{pi}{32}" title="x=frac{pi*k}{4}–frac{pi}{32}" alt="x=frac{pi*k}{4}–frac{pi}{32}" />, где 
k" title="k" alt="k" /> – целое число
б) Левые части равенств (1) и (3) равны, значит равны их правые части:
sqrt{2}*cos(5x-frac{pi}{4})" title="sqrt{2}*cos13x=sqrt{2}*cos(5x-frac{pi}{4})" alt="sqrt{2}*cos13x=sqrt{2}*cos(5x-frac{pi}{4})" />, или сокращая на
cos(5x-frac{pi}{4})" title="cos13x=cos(5x-frac{pi}{4})" alt="cos13x=cos(5x-frac{pi}{4})" />
Отсюда по свойству косинуса имеем:
5x-frac{pi}{4}=2pi*l" title="13x+5x-frac{pi}{4}=2pi*l" alt="13x+5x-frac{pi}{4}=2pi*l" />, или
frac{pi}{72}+frac{pi*l}{9}" title="x=frac{pi}{72}+frac{pi*l}{9}" alt="x=frac{pi}{72}+frac{pi*l}{9}" />, где 
– целое число
Ответ: =frac{pi*k}{4}–frac{pi}{32}" title="x=frac{pi*k}{4}–frac{pi}{32}" alt="x=frac{pi*k}{4}–frac{pi}{32}" />; frac{pi}{72}+frac{pi*l}{9}" title="x=frac{pi}{72}+frac{pi*l}{9}" alt="x=frac{pi}{72}+frac{pi*l}{9}" />