2cos^2x - sinx - 1=0 знаю, что нужно использовать формулы понижения степени, но в конечно ответе всё равно получатся какая-то ерунда

Вопрос пользователя:

2cos^2x – sinx – 1=0 знаю, что нужно использовать формулы понижения степени, но в конечно ответе всё равно получатся какая-то ерунда

Илюха отвечает:

Из основного тригонометрического тождества  $sin^2 x+cos^2x=1$ выразим  $cos^2x$ , т.е.  $cos^2x=1-sin^2x$ . Подставив в исходное уравнение, получим  $2(1-sin^2x)-sin x-1=0$ . Раскрывая скобки и упрощая в левой части уравнения, мы придем к следующему уравнению  $-2sin^2x-sin x+1=0$ . Для удобства умножим обе части на (-1), получаем  $2sin^2x+sin x-1=0$ .

Произведем замену. Пусть  $sin x=t$ , при условии, что  $|t| leq 1$ , получим  $2t^2+t-1=0$ .
$D=b^2-4ac=1^2-4cdot2cdot(-1)=9$
$t_1= dfrac{-b+ sqrt{D} }{2a} = dfrac{-1+3}{2cdot2} = dfrac{1}{2} ; t_2= dfrac{-b- sqrt{D} }{2a} = dfrac{-1-3}{2cdot2}=-1$

Сделаем обратную замену.
$sin x= dfrac{1}{2}$  откуда   $x_1=(-1)^ncdot dfrac{pi}{6} +pi n,n in Z$
$sin x=-1$  откуда   $x_2=- dfrac{pi}{2}+2 pi n,n in Z$