Вопрос от посетителя:
1. Угол А тругольника АВС равен 80*. Найдите угол между прямыми, содержащими биссектрисы внешних углов при вершинах В и С.
2. Центры трех попарно касающихся окружностей совпадают с вершинами треугольника со сторонами 5 см, 6 см и 7 см. найдите радиусы этих окружностей.
3. Из середины О гипотенузы восставлен перпендикуляр к ней, пересекающий один катет в точке Р, а продолжение другого в точке Q. Найдите гипотенузу, если ОР=р, ОQ=q.
4. В правильном треугольнике АВС на сторонах АВ и ВС выбраны точки Р и Q соответственно, причем АР:РВ=1:3 и РQIIАС. Найдите периметр трапеции АРQC, если сторона треугольника АВС=12 см.
Илюха отвечает:
1. Пусть угол А равен х, тогда сумма других углов 180-х, а сумма половинок этих углов 90-х/2. Отсюда угол между прямыми, на которых лежат биссектрисы равен 90-х/2 по правилу внешнего угла. Но х=80. Значит, искомый угол равен 50 градусов.
Ответ: 50.
2. Точка касания окружностей и центры этих же окружностей лежат на одной прямой. Если в этот треугольник вписать окружность, то точки касания данных окружностей и точки соприкосновения вписанной окружности со сторонами треугольника совпадут. Пусть радиус одной из окружностей равен х. Известно, что х=р-а, где р – полупериметр, а – противолежащая сторона. Значит, радиусы окружностей равны 4, 3 и 2 см соответственно.
Ответ: 4 см; 3 см; 2 см.
3. Треугольник АВС, С – прямой угол.
Т.к. угол ВАС – общий у треугольников АВС и AOQ, то угол AQO=ACB. Треугольники AQO и РОС подобны по первому признаку. Значит:
OQ/AO=OC/PO;
OQ/CO=CO/PO;
CO^2=pq;
c^2=4pq;
c=2kop(pq).
Ответ: 2кор(pq).
4. AP=QC=12/4=3 см.
PQ=3АС/4 по подобию треугольников АВС и PBQ. Отсюда периметр трапеции равен 12+3+3+9=27 см.
Ответ: 27 см.