Вопрос от посетителя:
1. Площадь ромба равна S. Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон ромба.
2. Две окружности с центрами в точках О1 и О2 пересекаются в точках А и А1, а отрезки АВ и АС – их диаметры. Найдите величины углов АА1В и АА1С и докажите, что точки В, А1 и С лежат на одной прямой.
3. Медианы треугольника со сторонами 5 см, 6 см и 7 см пересекаются в точке О. Найдите расстояние от точки О до прямых, содержащих стороны треугольника.
4. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что угол ABD=30*, угол ACB=30*, угол BDC=20*. Найти углы четырехугольника ABCD.
Илюха отвечает:
1. Соединим середины сторон всеми возможными способами. Ромб ABCD, в него вписан (как легко убедиться) прямоугольник MKLN, диагонали пересекаются в точке O. Получили 4 маленьких ромба: AMON, MBKO, OKCL, NOLD. В каждом из этих ромбов часть прямоугольника равна половине площади ромба. Отсюда площадь прямоугольника равна половине площади ромба, т.е. S/2.
Ответ: S/2.
2. Углы AA1B и AA1C опираются на диаметры, а значит они равны по 90 градусов каждый. АА1 перпендикулярно А1В и А1С, значит, А1В и А1С параллельны, а т.к. они проходят через одну и ту же точку, то они совпадают. Значит, точки В, А1, С лежат на одной прямой.
Ответ: 90, 90.
3. Перпендикуляры из точки О равны по одной третьей каждой высоты треугольника(теорема про пропорциональные отрезки). Найдём высоты треугольника.
Есть высота АН. Пусть ВН=х, а СН=6-х.
Из теоремы Пифагора:
25-х2=49-36+12х-х2;
12х=12;
х=1;
АН=2кор(6);
ВН=12кор(6)/7;
СН=12кор(6)/5.
Ответ: 2кор(6); 12кор(6)/7; 2,4кор(6).
4. Угол ВСД=60, т.к. угол АСД=АВД=30(углы, оп. на одну дугу, равны.)
Аналогично угол АДС=50.
Углы СВД и САД равны. И равны они по:
(360-30*4-20*2)/2=100 градусов.
Значит, угол АВС=130, угол ВАД=120.
Ответ: 130, 60, 50, 120.