Вопрос пользователя:
1) На окружности с центром O и диаметром AB, равным 4, взята точка M, расположенная ближе к точке A, чем к точке B. Через точку M проведена касательная к окружности, а через точки A и B – лучи, перпендикулярные к AB и пересекающие касательную в точках D и C соответственно, уголDCB=60⁰. а) Найдите углы OCB, ADC, ODC. б) Найдите отрезки AD и CB. в) Найдите площадь четырехугольника ABCD. г) Найдите углы четырехугольника MOBC. д) Докажите, что треугольники AOD и COB подобны. е) Докажите, что расстояние от точки O до середины отрезка DC равно 0,5(MD+BC). ж) Выразите OM через OD и OC (над OM, OD и OC стрелочки).
Илюха отвечает:
угол ОСВ = 15 градусов, потому что ОС – биссектриса угла МСВ. (биссектриса ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ равноудалена от сторон угла.) угол ADC = 180 – 30 = 150 градусов, угол ОDC = 150/2 = 75 градусов. (ОD тоже биссектриса, угла ADC). Отсюда сразу же следует, что угол DOC прямой – в треугольнике DOC сумма двух других углов равна 75+15=90. Кроме того, ОМ – высота DOC, а высота прямоугольного треугольника делит его на два, подобных ему. Это означает DM/OM = OM/MC, или DM*MC = MO^2 = 4. DC найти тоже легче простого – если провести в DCAB перпендикуляр из D на ВС (пусть это DK, ясно, что DK = AB = 4), то получится прямоугольный треугольник CDK с углом С 30 градусов, то есть DC = 2*DK = 8. Получилось DM*МС = 4; DM + MC = 8; Отсюда (DM + MC)^2 – 4*DM*MC = 48; (DM – MC)^2 = 48; MC – DM = 4*√3 (по условию МС>DM); 2*MC = 8 + 4*√3; MC = 4 + √3; DM = 4 – √3; АD = DM (касательные из одной точки) и аналогично CВ = СМ.
Средняя линяя трапеции ADCB равна (AD + CB)/2 = DC/2 = 4, высота равна АВ = 8 площадь 16.
угол МОВ равен 360 – 2*90 – 30 = 150.
Подобие треугольников DMO и CMO я уже доказал, а треугольник AOD = DMO, и СОВ = MOC (докажите, это вообще элементарно, там есть общие стороны и равные углы).
е) уже доказано (перечитайте:))
и последнее – вектора OD, OM, ОС, и еще нужен DM. DC = OC – OD. Ясно, что длина DM = 4-√3, поэтому вектор DM = DC*(4-√3)/8; ОМ = ОD + DM (вектора!!!) = OD + DC*(4-√3)/8 = OD + (OC – OD)*(4-√3)/8 = OC*(4-√3)/8 +OD**(4+√3)/8
= OC*(4-√3)/8 +OD*(4+√3)/8