Вопрос от посетителя:
1.Найдите отношение площади круга, вписанного в правильный шестиугольник к площади круга, описанного около этого шестиугольника. 2.Дан правильный восьмиугольник А1 А2…А8.Найдите (корень из 2-1)*S, если S-площадь треугольника А1 А4 А6, если площадь треугольника А1 А4 А5 равна 8корней из 2. 3.Найдите площадь параллелограмма А1 А2 А5 А6, вписанного в правильный восьмиугольник А1 А2…А8, если диагональ А4 А6 этого восьмиугольника равна 17 корней 4степени из 2.
Илюха отвечает:
1). S1/S2 = (r/R)^2
В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу опис. окр -ти, а радиус r впис. окружности(высота, опущенная на сторону) равен (Rкор3)/2.
S1/S2 = 3/4.
2)Распишем площадь тр-ка А1А4А5:
S1 = (1/2)*А1А5 * А1А4* sin(45/2), т.к. угол А4А1А5 = А4ОА5/2 = (360/8)/2 = 45/2.
А1А5 = 2R -большая диагональ 8-гольника равна диаметру описанной окр-ти.
А1А4 = 2R*cos(45/2)
Выражаем площадь:
S1 = (1/2)*2R*2Rcos(45/2)*sin(45/2) = R^2 *sin45 = (R^2кор2)/2 ;
Но по условию она равна 8кор2.
(R^2кор2)/2 = 8кор2.
Отсюда R = 4
Теперь переходим к тр-ку А1А4А6:
S = (1/2)(A1A4)^2 *sin45 ,т.к. А1А4 = А1А6 = 2Rcos(45/2)
Найдем cos(45/2) = кор((1+cos45)/2) = (кор(2+кор2))/2
S = (1/2) R^2*(2+кор2)*(кор2)/2 = 8(1+кор2)
((кор2)-1)S = 8
Ответ: 8.
3) Это прямоугольник, так как углы его опираются на главные диагонали – диаметр описанной окружности.S = a*A1A6 = (2Rsin(45/2))*(2Rsin(135/2) = (2Rsin(45/2)*(2Rcos(45/2)) = 2R^2 sin45 = R^2 *кор2.
Найдем R^2:
А4А6 = 2Rsin45 = Rкор2
А4А6^2 = 2R^2 = 289кор2
R^2 = (289кор2)/2.
Теперь находим площадь:
S = R^2 кор2 = 289
Ответ: 289