1) Докажите, что при любом натуральном n число 2*7^2n+16^n+8*5^n кратно 11 2) При каких значениях параметра а уравнение (a+1)*x^2-(2a+5)*x+a=0 имеет два действительных корня, больших -1? 3)Вычислите: [(sqrt(1-sin^2(153*))+sqrt(tg^2(207*)-sin^2(207*)]*sin(63*)

Вопрос от посетителя:

1) Докажите, что при любом натуральном n число 2*7^2n+16^n+8*5^n кратно 11

2) При каких значениях параметра а уравнение

(a+1)*x^2-(2a+5)*x+a=0

имеет два действительных корня, больших -1?

3)Вычислите:

[(sqrt(1-sin^2(153*))+sqrt(tg^2(207*)-sin^2(207*)]*sin(63*)

Илюха отвечает:

1. Будем доказывать методом математической индукции.

Проверяем истинность утверждения при n = 1:

а) 2*49 + 16 + 40 = 154 = 11*14 – делится на 11.

б) Предположим, что 2*7^(2k) + 16^k +8*5^k – делится на 11. Где k – произвольное натуральное число.

в) Докажем, что тогда при n = k+1 полученное выражение – тоже делится на 11:

$2*7^{2k+2}+16^{k+1}+8*5^{k+1}=49*(2*7^{2k})+16*16^k+5*(8*5^k)=$

$5(2*7^k+16^k+8*5^k)+(44*(2*7^{2k})+11*16^k)$

Теперь четко видно что оба больших слагаемых делятся на 11:

первое – исходя из предположения, второе – имеет 11 как общий сомножитель для своих слагаемых.

Итак мы доказали , что если при произвольном n= k выражение делится на 11, то и при n = k+1 выражение делится на 11.

Значит исходное выражение делится на 11. что и требовалось доказать.

2) $(a+1)x^2-(2a+5)x+a=0, D=4a^2+20a+25-4a^2-4a=16a+25$

D>0 a>-25/16 a>-1,5625

$x_{1}=frac{2a+5+sqrt{16a+25}}{2(a+1)}>-1″ src=”https://tex.z-dn.net/?f=x_{1}=frac{2a+5+sqrt{16a+25}}{2(a+1)}>-1″ title=”x_{1}=frac{2a+5+sqrt{16a+25}}{2(a+1)}>-1″> <img alt=$ -1″ src=”https://tex.z-dn.net/?f=x_{2}=frac{2a+5-sqrt{16a+25}}{2(a+1)}>-1″ title=”x_{2}=frac{2a+5-sqrt{16a+25}}{2(a+1)}>-1″>

Разбиваем ОДЗ на две части:

а) (-1; беск)

2a+5+sqrt{16a+25}>-2a-2″ src=”https://tex.z-dn.net/?f=2a+5+sqrt{16a+25}>-2a-2″ title=”2a+5+sqrt{16a+25}>-2a-2″>
<img alt= -2a-2″ src=”https://tex.z-dn.net/?f=2a+5-sqrt{16a+25}>-2a-2″ title=”2a+5-sqrt{16a+25}>-2a-2″>

$sqrt{16a+25}>-4a-7″ src=”https://tex.z-dn.net/?f=sqrt{16a+25}>-4a-7″ title=”sqrt{16a+25}>-4a-7″> <img decoding=$

Первое из написанных неравенств верно. Проверим второе:

16a+25<16a^2+56a+49 $16a+25<16a^2+56a+49, 16a^2+40a+24>0, D=64″ src=”https://tex.z-dn.net/?f=16a+25<16a^2+56a+49, 16a^2+40a+24>0, D=64″ title=”16a+25<16a^2+56a+49, 16a^2+40a+24>0, D=64″> Корни -1; -1,5 Решение с учетом ОДЗ: (-1; беск) б) (-1,5625; -1) <img decoding=$