Вопрос от посетителя:
1.довести, що 11^11+12^12+13^13 закінчується на 0.
2. знайдіть усі трицифрові числа abc для яких виконується рівність
abc=2(ab+bc+ac).
Илюха отвечает:
последняя цифра числа 11^11 будет такая же как у числа 1^11=1, т.е. 1
последня цифра числа 12^12 будет такая же как у числа 2^12
2^1, последняя цифра 2
2^2, последня цифра 4
2^3, последняя цифра 8
2^4, последняя цифра 6
2^5, последня цифра 2,
значит последнняя цифра степеней 2 повторяется с периодом 4
12=2*4+4
значит последняя цифра у числа 2^12 такая же как у числа 2^4,т.е. последняя цифра 6
последня цифра числа 13^13 будет такая же как у числа 3^13
3^1, последняя цифра 3
3^2, последня цифра 9
3^3, последняя цифра 7
3^4, последняя цифра 1
3^5, последня цифра 3,
значит последнняя цифра степеней 3 повторяется с периодом 4
13=3*4+1
значит последняя цифра у числа 3^13 такая же как у числа 3^1,т.е. последняя цифра 3
а значит последняя цифра у числа 11^11+12^12+13^13 будет такая же как у числа 1+6+3=10, т.е 0.
доказано
2. знайдіть усі трицифрові числа abc для яких виконується рівність
abc=2(ab+bc+ac).
число запись авс=100а+10b+c
2(ab+bc+ac)=2*(10a+b+10b+c+10a+c)=2*(20a+11b+2c)=40a+22b+2c
100а+10b+c=40a+22b+2c
60a-12b-c=0
12(5a-b)=c
поскольку а,b,c – цифры, то с должно делиться на 11, что возможно когда с=0
тогда 5а=b
что возможно только когда a=1, b=5(a=0, b=0 – не может быть, число не может начинаться с цифры 0)
ответ: 150
150=2*(15+50+10)