Вопрос от посетителя:
1. Две окружности одинаковых радиусов, равных 6 см, касаются друг друга в точке А. третья окружность с центром в точке А касается первых двух окружностей. Найти радиус четвертой окружности, касающейся трех данных.
2. В равнобедренном треугольнике основание равно 6 см, а боковая сторона 5 см. Найти расстояния от точки пересечения высот треугольника до его вершин.
3. В треугольник со сторонами 12 см, 9 см и 6 см вписана окружность. Найти отрезки, на которые точки касания окружности делят стороны треугольника.
4. Доказать, что диагонали трапеции и отрезок, соединяющий середины ее оснований, пересекаются в одной точке.
Илюха отвечает:
1. Правильно сделать рисунок. К сожалению не проходят вложения.
Из центров окружностей – первых двух и четвертой – образуется равнобедренный тр-ик О1О2О3 с основанием О1О2= 12 и боковой стороной:
О1О3=О2О3 = 6+х, где х – искомый радиус 4-ой окр-ти.
Высота этого тр-ка О3А = 12-х и с другой стороны по теореме Пифагора:
О3А^2 = (x+6)^2 – 36
Итак получим уравнение:
(12-x)^2 = (x+6)^2 – 36
36x = 144 x = 4
Ответ: 4 см.
2. АС = 6, АВ = ВС = 5. АN,BD,CM – высоты
AО= CО = AD/cosa, где а = угол МСА = уголNAC = угол ABD
cosa = BD/АВ = (кор(25-9))/5 = 4/5
Тогда: АО = СО = 3/(4/5) = 15/4
OD = AD*tga = 3*3/4 = 9/4
BO = BD – OD = 4 – (9/4) = 7/4
Ответ: 15/4; 15/4; 7/4.
3.Центр впис. окр. – на пересечении биссектрис углов тр-ка АВС.
r – радиус вписаной окр-ти.
Из чертежа (надо правильно его выполнить, проведя радиусы в точки касания): отрезки до точек касания равны r/tg(A/2), r/tg(B/2), r/(tg(c/2).
Тангенс половинного угла считается по формуле tg(a/2) = sina/(1+cosa).
Итак в нашей задаче надо найти r и тригоном. ф-ии углов тр-ка.
r=? S = pr и S = кор(p(p-a)(p-b)(p-c)), p = (6+9+12)/2 = 27/2
S = (27кор15)/4 r = S/p =(кор15)/2
Функции углов:cosB = (81+36-144)/(2*9*6) = – (1/4), sinB = (кор15)/4
По теореме синусов: 9/sinC = 12/sinB, sinC = (3кор15)/16, cosC = 11/16.
Аналогично: sinA = (кор15)/8, cosA = 7/8.
Считаем тангенсы:
tg(A/2) = (кор15)/15; tg(B/2) = (кор15)/3; tg(C/2) = (кор15)/9.
Искомые отрезки равны: 15/2, 9/2, 3/2.
Попарно по сторонам:
Ответ:15/2 и 9/2; 9/2 и 3/2; 15/2 и 3/2.