Вопрос от посетителя:
1) В прямоугольном треугольнике АВС с равными катетами АС и ВС на стороне АС как на диаметре построена окружность, пересекающая сторону АВ в точке М. Найдите длину отрезка ВМ, если расстояние от точки В до центра построенной окружности 3 корня из 10.
2)Найдите длину средней линии трапеции, в которой диагонали взаимно перпендикулярны, а их длины равны 10 и 24.
3)Треугольник АВС таков, что АВ не равно ВС, а отрезок, соединяющий точку пересечения медиан с центром вписанной в него окружности, параллелен стороне АС. Найдите периметр треугольника АВС, если АС=1.
Илюха отвечает:
1) Сначала найдем катеты треугольника. Пусть CD – середина стороны АС. Тогда СD = BC/2. Согласно теореме Пифагора
ВС²+(BC/2)² =5*BC²/4=(3*√10)²=90 , откуда ВС²=72 и ВС=6*√2
Тогда АВ=ВС*√2=12 см. Треугольник АМС – равнобедренный прямоугольный (вписанный угол, опирающийся на диаметр – прямой, угол САМ = 45⁰.
Следовательно АМ=АС/√2=6 см и ВМ=6 см.
2) Площадь трапеции S = АС * BD / 2 = 10 * 24 / 2 = 120 cm²
Сумма оснований – гипотенуза прямоугольного треугольника, катеты которого – диагонали трапеции.
Она равна √(10²+24²)=√676=26 см.
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то есть 26/2=13 см.
3) С одной стороны S = p * r , где р – полупериметр треугольника, а r – радиус вписанной окружности.
С другой стороны S = AC * h / 2.
Поскольку отрезок, соединяющий точку пересечения медиан с центром вписанной в него окружности, параллелен стороне АС, то r = h / 3.
Следовательно р = 3 * АС / 2 = 1,5 см., а периметр треугольника – 3 см.