Вопрос от посетителя:
1)Четвертый член геометрической прогрессии на 18 больше второго члена, а сумма первого и третьего членов равна -15. Найдите сумму первых восьми членов этой прогрессии
2)Найдите пятый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если ее сумма равна 4, разность между первым и третьим членами равна 7/16 , а знаменатель прогрессии является рациональным числом
Илюха отвечает:
1) a1q^3 – a1q=18
a1+a1q^2=15
из второго уравнения, имеем
a1(1+q^2)=15 => a1=15/(1+q^2)
подставим в первое уравнение значение a1,получим
15 q^3/(1+q^2)-15q/(1+q^2)=18
15q^3-15q=18(1+q^2)
15q^3-18q^2-15q-18=0
5q^3-6q^2-5q-6=0
5q^3-10q^2+4q^2-8q+3q-6=0
(5q^3-10q^2)+(4q^2-8q)+(3q-6)=0
5q^3(q-2)+4q(q-2)+3(q-2)=0
(q-2)(5q^2+4q+3)=0
a) q-2=0 => q=2
б) 5q^2+4q+3=0
D=b^2-4ac=-44 – нет решений
итак, a1=15/(1+q^2)=15/(1+4)=3
то есть, a1=3 и q=2
s8=a1*(1-q^8)/(1-q)=3*(1-2^8)/(1-2)=3*255=765