Вопрос от посетителя:
1)Найдите все значения параметра а, при каждом из которых системе
удовлетворяет ровно одно значение x.
2)Решите систему
x^2+2y=4
x^2+y^2=a
c параметром a
3)при каких значениях параметра а система
|y|+x^2=4
x^2+y^2=a
имеет четыре решения?
Илюха отвечает:
кор(3) х = t
кор(3) (8-t^3) <= 2-t, 8-t^3 <= 8 - 12t + 6t^2 - t^3, 6t(t - 2)>=0
t прин (-беск; 0]v[2; беск), или х прин (-беск; 0]v[8; беск).
///////////0———————8////////// (1)
Проанализируем второе неравенство:
ax^2 + 20x – 32>=0, D = 400+128a корD = 4кор(25+8а)
х1 = (-20 + 4кор(25+8а))/2а = (-10 + 2кор(25+8а))/а
х2 = (-20 – 4кор(25+8а))/2а = (-10 – 2кор(25+8а))/а.
Для того, чтобы области решения данного неравенства при пересечении с областями (1) дали только одну точку, необходимо, чтобы парабола имела ветви вниз (а<0) и: 1)больший корень равнялся 8, а меньший был больше 0; 2) меньший корень равнялся 0, а больший был меньше 8.
Итак сначала: D>0 a> -25/8, но потребуем еще: a<0
Итак ОДЗ для а: а прин (-25/8; 0).
Если а – отрицательно, то большим корнем будет являться х2. Решим уравнение:
(-10 – 2кор(25+8а))/а = 8
кор(25+8а)= -5 – 4а
25+8а = 25+40a+16a^2
16a^2+32a = 0 a = -2 (a = 0 – не подходит по ОДЗ)
Проверим, будет ли при этом а меньший корень х1 – больше 0.
х2 = 2 условие выполняется.
Теперь проверим при каком а меньший корень будет равняться 0:
(-10 + 2кор(25+8а))/а = 0
кор(25+8а) = 5
а = 0 не подходит.
Ответ: при а = -2 (решение: х=8).
2) Вычтем из второго – первое: (ОДЗ: y <=2)
y^2 – 2y – (a-4) = 0, D = 4a-12.
При а < 3 решений нет
При а = 3 у = 1, х = +-кор2
При а>3: У1,2 = 1 +- кор(а-3)
C учетом ОДЗ:
1+кор(а-3)<=2 a<=4 То есть а прин (3; 4]
Найдем х: Х1,2 = +-кор(2 – кор(а-3))
Х3,4 = +-кор(2 + кор(а-3))
При a>4 – только один у подходит: у = 1-кор(а-3),х=+-кор(2+кор(а-3).
Ответ:
при а прин (-беск; 3) – нет решений
при а = 3: (кор2; 1); (-кор2; 1)
при a прин (3; 4]: (кор(2-кор(а-3)); 1+кор(а-3)); (-кор(2-кор(а-3)); 1+кор(а-3); (кор(2+кор(а-3)); 1-кор(а-3)); (-кор(2+кор(а-3)); 1-кор(а-3)).
при a>4: (кор(2+кор(а-3)); 1-кор(а-3)); (-кор(2+кор(а-3)); 1-кор(а-3)).
3. Решил графически – вышлю по почте