Вопрос от посетителя
1)в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, докажите что данный четырёхугольник ромб
2)В параллелограмме ABCD биссектриса тупого угла В пересекает сторону AD в точке F. Найдите периметр параллелограмма, если АВ = 12 и AF: FD = 4:3.
Отвечает Илюха:
1) Четырёхугольник составлен из 4-х равных прямоугольных тр-ков .Докажем это:
АО = ОС
ВО = ОD ( по условию), тогда ΔАОВ = ΔВОС =ΔСОD = ΔAOD ( по двум катетам).
Таким образом , АВ=ВС=СD=AD.
2) !!! Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Докажем, что АВСD -параллелограм:
Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм. ( признак 3)
Из условия следует: АС ∩ ВD =О и
АО = ОС
ВО = ОD. Следовательно АВСD – параллелограмм.
Таким образом АВСD – ромб. Что и треб. доказать.( см. рис.)
2. !!! Правило: биссектриса угла параллелограмма отсекает равнобедренный тр-к
( см.рис), тогда АF = AB = 12 см.
Учитывая, что AF/ FD = 4/3, получим 12/ FD = 4/3,
4FD = 36
FD = 9 cм,
т.о. AD = 12 +9 = 21 ( cм).
Значит , Р = 2·(АВ + АD ) = 2·(12 + 21) = 66 (cм).