Вопрос от посетителя
Число из трех цифр отняли от числа, которое складывается с тех самых цифр, размещенных в обратном порядке. Результат складывается из тех самых цифр, размещенных опять по другому. Найди и запиши эти числа.
Отвечает Илюха:
Обозначим уменьшаемое как abc. Тогда нужное нам число – это cba, где c, a, b = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
По условию, abc – cba = xyz (*), где x, y, z = {a,b,c}. Заметим, что abc – cba > 0, и, следовательно, a > c, т.е. c < 9 (**)
Из (*) получим уравнения для вычитаний из младшего, среднего и старшего разрядов соответственно (A):
10 + c – a = z (заняли “1” из среднего разряда) (A.1)
10 + (b – 1) – b = 9 при любом b (заняли “1” из старшего разряда)
a – 1 – c = x (A.2)
Уравнение (*) приобретает вид:
abc – cba = x9z (***)
Но y = 9 не может быть цифрой c, поскольку c < 9 согласно (**). Следовательно, возможными комбинациями x,z будут: (x,z) = {(a,c),(c,a),(b,c),(c,b)}.
Рассмотрим систему уравнений (A) для всех возможных случаев:
1: x = a или b, z = c.
(A.1): 10 + c – a = c => a = 10 – противоречие (должно быть a < 10).
2: x = c, z = a.
(A.1), (A.2): 10 + c – a = a, a – 1 – c = c => 10 + c = 2*(2c + 1), a = 2c + 1 => 8 = 3c, a = 2c + 1 => c = 8/3 – противоречие (c должно быть целым числом).
3: x = c, z = b.
(A.1), (A.2): 10 + c – a = b, a – 1 – c = c => 10 + c – (2c + 1) = b, a = 2c + 1 => 9 – c = b, a = 2c + 1 => Для всех возможных c: c = {0,1,2,3,4} получим соответствующие им значения a и b. (a,b,c) = {(1,9,0),(3,8,1),(5,7,2),(7,6,3),(9,5,4)}. Подстановкой в (***) получим единственно возможное решение: (a,b,c) = (9,5,4), т.е a = 9, b = 5, c = 4.
Итак, нужное нам число это cba = 459, другие два – 954 и 495 соответственно.
Проверка: 954 – 459 = 495.