Вопрос от посетителя:
Через точку A проведены две касательные к окружности w; M и N – точки касания. Известно, что AM=6 и MN=5.
Найдите:
а) радиус окружности
б) длину дуги окружности w, находящейся вне треугольника AMN
Илюха отвечает:
а) Проведем АО (О – центр окр.).Пересечение АО и MN – точка К. MK = KN = 2,5. Пусть ON = OM = R. Тогда:
Из пр.тр-ка AON:
AO^2 – R^2 = 36 (AN = AM = 6).
AO*2,5 = 6R (гипотенуза умн. на высоту равна произведению катетов).
AO = 6R/2,5 = 2,4R
5,76R^2 – R^2 = 36
R = 6/кор4,76 = 2,75 (с точностью до 5-го знака после запятой)
Ответ: 6/кор4,76 = 30/кор119 = 2,75 (специально даю разные вариации одного и того же ответа – первые два – точные, но громоздкие, последний – приближенный, но очень с высокой степенью точности).
б)Продлим АО до пересечения с другой точкой окр. w – точка В.
Итак необходимо найти длину дуги MNB. Сначала найдем угловую меру.
MBN = 2П – MON = 2П – х. х = ?
Из тр-ка MON:
sin(x/2) = 2,5/R = 2,5/2,75 = 10/11 = 0,91
x = 2arcsin(0,91)
MBN = 2П – 2arcsin(0,91) радиан
Длина дуги:
{[2П – 2arcsin(0,91)]/2П} * 2ПR = 2ПR – 2Rarcsin0,91 = 2R(П – arcsin(0,91)) =
=5,5*(П – 1,14) = 11
Ответ: 5,5(П – arcsin(0,91)) = 11.