Вопрос от посетителя
Три числа состовляют арифметическую прогрессию. Если первые два из них оставить без изменений, а к третему прибавить сумму двух первых то полученные числа составят геометрическую прогрессию. Найдите знаменатель этой геометрической прогрессии.
Отвечает Илюха:
Если каждому числу n натурального ряда чисел 1, 2, 3, 4, . . . ставится в
соответствие по определенному закону некоторое действительное число x n , то
совокупность действительных чисел x 1 , x 2 , x 3 , . . . , x n-1 , x n , x n+1
, . . . , расположенных в порядке возрастания номеров n , называется элементами
или членами последовательности. Последовательность считается заданной, если дан
способ вычисления любого его члена по его известному номеру.
Числовая последовательность называется монотонно возрастающей, если каждый ее
последующий член больше предыдущего. Числовая последовательность называется
монотонно убывающей, если каждый ее последующий член меньше предыдущего.
Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, в которой
каждый последующий член получается из предыдущего прибавлением к нему одного и
того же числа, называемого разностью прогрессии. Разность прогрессии
обозначается буквой d.
Если последовательность a 1 , а 2 , а 3 , … ,а n , … , является
арифметической прогрессией, разность которой d =a n +1 – a n ,то любой член а n
этой прогрессии вычисляется по формуле
a n =a 1 + (n-1) d..
Сумма S n первых ее членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле S n
= 1.
Если в последней формуле заменить a n его значением из формулы a n =a 1+ (n-1)
d, то будем иметь: .
2 . Геометрическая прогрессия.
Геометрической прогрессией называется числовая последовательность, в которой
каждый последующий член получается из предыдущего умножением на одно и то же
число, называемое знаменателем прогрессии.
Знаменатель прогрессии принято обозначать буквой q . Если последовательность а
1 , а 2 , а 3 , … , а n , а n+1 , … является геометрической прогрессией,
знаменатель которой то любой член этой прогрессии аn вычисляется по формуле
an=a1 qn-1.
Сумма Sn первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле: или,
если в последней формуле a n заменить через a 1 q n-1 , то получим
3. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
Геометрическая прогрессия, знаменатель которой по абсолютной величине меньше
единицы, называется бесконечно убывающей.
Следует однако отметить, что бесконечно убывающая прогрессия будет убывающей
последовательностью ( в том смысле, как это определено в начале темы ) лишь
тогда, когда ее первый член a 1 и знаменатель q положительны.
Если последовательность а 1 , а 2 , а 3 , … ,an, … является бесконечно
убывающей геометрической прогрессией, то суммой S этой прогрессии называется
предел суммы Sn первых n членов ее при неограниченном возрастании числа n , то
есть
lim S n = lim , где – 1 < q < 1