Вопрос пользователя:
Треугольник MNK равносторонний со стороной 18 см. Точка С удалена от вершин треугольника MNK на 12 см. Найдите расстояние от точки С до плоскости MNK
Илюха отвечает:
Строим перпендикуляр СО из точки С к плоскости треугольника (его длину нам и нужно найти)
Отрезки ОK, ОM и ОN являются проекциями отрезков СК, СМ и CN на плоскость треугольника. Так как равны сами отрезки (по условию 12 см), то равны и их проекции ОK, ОM и ОN ( по теореме Пифагора):
OK^2 = CK^2 – CO^2 = 12 – CO^2
OM^2 = 12 – CO^2
ON^2 = 12 – CO^2.
Получается, что равны и равнобедренные треугольники, на которые поделен треугольник MNK. (MOK, NOM, KON равны по равенству трех сторон)
Треугольники равны, следовательно, равны углы KMO = OMN = MNO = оNK = NKO = OKM
Это значит, что точка O лежит на пересечении биссектрис. В равностороннем треугольнике — это по совместительству точка пересечения медиан и высот. Как известно, медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1 от угла. Нарисуем медиану KP. Переходим непосредственно к вычислению.
Медиана KP = KM * sin(60) = 18 * sqrt(3)/2 = 9*sqrt(3)
KO = KP * 2/3 = 6 * sqrt(3) (т.к. медианы делятся точкой пересечения)
И, наконец, по теореме Пифагора:
CO^2 = CK^2 – KO^2 = 12^2 – 36*3 = 36
CO = 6 (см)
Ответ: верен ответ номер 2