Вопрос от посетителя:
Точка О является центром правильного двенадцатиугольника А1А2…А12 площадь треугольника А1ОА9 равна 2корня из 3. Найдите площадь треугольника А1А6А7.
Илюха отвечает:
Треугольник А1ОА9 – равнобедренный с углом при вершине 120о , поэтому при радиусе окружности R его площадь равна
R^2 * sin 120o / 2 = R^2 * корень(3) / 4
В данном случае она составляет 2 * корень(3), поэтому
R^2 / 4 = 2 , откуда R = корень(8)
В треугольнике А1А6А7 сторона А1А7 – диаметр окружности, угол при вершине 15о (вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу). Сторону А1А6 находим по теореме косинусов из равнобедренного треугольника, у которого боковая сторона – радиус, а угол при вершине 150о.
А1А6^2 = R^2 + R^2 – 2 * R * R * cos 150o = 2 * R^2 – 2 * R^2 * (-корень(3)/2) =
R^2 * (2 + корень(3)) = 8 * (2 + корень(3))
Итак, А1А6 = корень(8 * (2 + корень(3)))
А1А7 = 2 * корень(8)
sin 15o = корень ((1 – cos30o)/2) = корень ((1 – корень(3)/2)/2)=
корень(2-корень(3))/2
Таким образом, искомая площадь
S = A1А6 * А1А7 * sin 15o / 2 = корень(8 * (2 + корень (3))) * 2 * корень(8) * корень (2 – корень(3)) /2 /2 = 8 * 2 / 4 = 4