Вопрос пользователя:
С4. Боковые стороны KL и MN трапеции KLMN равны 10 и 26 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 12, средняя линия трапеции равна 24. Прямые KL и MN пересекаются в точке А. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АLM.
Илюха отвечает:
Это практически устная задача. Надо знать несколько простых вещей.
1. Отрезок ,соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований.
Ясно, что этот отрезок – часть средней линии, заключенная между диагоналями. Куски средней линии между боковой стороной и диагональю (все равно с какой стороны) равны половине малого основания – как средние линии (в обозначениях задачи это средние линии треугольников KLM и NLM). Если обозначить основания как a и b, то
12 = (a + b)/2 – 2*(b/2) = (a – b)/2;
Кроме того, задано, что (a + b)/2 = 24;
Отсюда легко находим a = 36, b = 12;
Рассмотрим теперь подобные треугольники KAN и LAM. LN/KN = 12/36 = 1/3;
Поэтому AL/AK = AM/AN = 1/3; Но AK – AL = 10; AN – AM = 26, отсюда сразу находим AL = 5, АМ = 13.
Вот тут нам Пифагор здорово облегчает жизнь – получился треугольник со сторонами (5,12,13), то есть прямоугольный. По известной формуле радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен
r = (5 + 12 – 13)/2 = 2. Это ответ.
Кстати, эта формула получается очень просто, поскольку отрезки касательных к вписанной окружности, из которых складываются стороны, включают и сам радиус r.
И, между прочим, в задаче с самого начала задана прямоугольная трапеция.