Вопрос от посетителя
С-6 ЕГЭ
Решить в натуральных числах уравнение n! +5n +13 =k^2
ЕРУНДУ НЕ ПИШИТЕ , УДАЛЯЮ СРАЗУ
Отвечает Илюха:
Эта задача очень известная, и решается, как ни странно, перебором :))
Дело в том, что все квадраты целых чисел заканчиваются на 0,5,1,4,6,9. Это легко показать для первых 10 чисел (то есть цифр:)), а все последующие лекго представимы как 10*р+m, то есть последняя цифра квадрата равна последней цифре m^2. Отсюда следует, что если квадрат натурального числа разделить нацело на 5, то остаток может принимать значения только 0, 1 и 4. В самом деле, если число заканчивается на 0 и 5, то остаток 0, если на 1 или 6 – то 1, если на 4 или 9 – то 4.
Отсюда получается, что при n > 5 условие задачи не может быть удовлетворено, поскольку n! делится на 5, и остаток от деления левой части на 5 будет 3.
Осталось перебрать все случаи от 1 до 4. Ну и находим единственное решение
n = 2, k = 5.