Вопрос пользователя:
Сумма трех чисел составляющих геометрическую прогрессию равна 7 , а сумма их квадратов равна 21. Найдите эти числа. С подробным решение, НЕ пишите пожалуйста только ответ.
Илюха отвечает:
Примем
а1 – первое число
а2 – второе число
а3 – третье число
К – постоянная прогрессии
тогда
а1+а2+а3=7
а1^2+а2^2+а3^2=21
а2=К*а1
а3=К*а2=К*К*а1=К^2*а1
а1+К*а1+К^2*а1=7
а1*(К^2+К+1)=7
а1=7/(К^2+К+1)
(7/(К^2+К+1))^2+(К*7/(К^2+К+1))^2+(К^2*7/(К^2+К+1))^2-21=0
(49+49*К^2+49*К^4)-21*(К^2+К+1)^2=0
28*К^4-42*К^3-14*К^2-42*К+28=0
2*К^4-3*К^3-К^2-3*К+2=0
2*K^4/K^2-3*K^3/K^2-K^2/K^2-3*K/K^2+2/K^2=0
2*K^2-3*K-1-3*K/K^2+2/K^2=0
2*K^2+2/K^2-3*K-3*K/K^2-1=0
2*(K^2+1/K^2)-3*(K-1/K^2)-1=0
K-1/K^2=x—>(K-1/K^2)^2=x^2—>x^2+1/x^2=x^2-2
2*x^2-3*x-5=0
Квадратное уравнение, решаем относительно x:
Ищем дискриминант:
D=(-3)^2-4*2*(-5)=9-4*2*(-5)=9-8*(-5)=9-(-8*5)=9-(-40)=9+40=49;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(7+3)/(2*2)=10/(2*2)=10/4=2.5;
x_2=(-7-(-3))/(2*2)=(-7+3)/(2*2)=-4/(2*2)=-4/4=-1.
K-1/K^2=2.5—>K^3-2.5*K^2-1=0
K-1/K^2=-1—>K^3+K^2-1=0
К=2
а1=1
а2=2*1=2
а3=2^2*1=4