Вопрос от посетителя
сумма квадратов цифр некоторого двузначного числа на единицу больше утроенного произведения этих цифр. при делении этого числа на сумму его цифр в частном получается 7, а в остатке 6. найдите это двузначное число
Отвечает Илюха:
пусть к и р – искомые цифры. Тогда имеем ИЗ ПЕРВОГО УТВЕРЖДЕНИЯ
k^2 + p^2 = 3*k*p + 1
Отсюда следует 2 равенства.
(k – p)^2 = k*p + 1;
(k + p)^2 = 5*k*p + 1;
Поскольку к и р – ЦИФРЫ, то их сумма не превосходит 18.
Далее. Предположим, что обе цифры четные. Сразу противоречие, так как квадрат разности будет четным, а левая часть первого равенства – нечетная. Поэтому либо к и р, либо хотя бы одна из них – нечетная.
Представим k = 2*m+1;p = 2*n+1 и подставим в исходную форму первого утверждения.
(2*m + 1)^2 + (2*n + 1)^2 = 3*(2*m+1)*(2*n+1) +1;
4*(m^2 + n^2 + m + n) = 3*4*m*n + 3*2*(m+n) +3; (единички сократились)
Опять противоречие – слева четное, а справа нечетное.
Поэтому ЦИФРЫ к и р – РАЗНОЙ ЧЕТНОСТИ. Это означает, что 5*к*р кратно 10, а выражение 5*к*р+1 заканчивается на 1. В промежутке от 2 до 18 есть только 2 числа, квадрат которых заканчивается на 1 – это 9 (квадрат 81) и 11 (квадрат 121). Напоминаю,что (k + p)^2 = 5*k*p + 1; то есть 5*k*p + 1 – полный квадрат.
Но число 81 не подходит, потому что 80 = 5*16, а 16 НЕ ИМЕЕТ НЕЧЕТНЫХ ДЕЛИТЕЛЕЙ. А цифры наши должны быть разной четности. С 121 лучше –
120 = 5*24, а 24 = 8*3, и это ЕДИНСТВЕННОЕ представление в виде произведения нечетного и четного числа.
Итак,у нас осталась пара цифр 3 и 8. Из них можно составить числа 38 и 83. Первое число противоречит второму условию
10*к + р = 7*i + 6;
Зато 83 как раз ему удовлетворяет
83 = 7*11 +6.
Ответ 83