Вопрос от посетителя:
Сумма двох сторін трикутника дорівнює 8 см, а кут між ними – 120 градусів. Чому дорівнює радіус кола, вписаного в цей трикутник, якщо його третя сторона дорівнює 7 см?
Илюха отвечает:
Нехай одна сторона трикутника дорівнює Х. Тоді друга сторона дорівнює 8 – Х Згідно з теоремою косинусів
7² = 49 = Х² + (8 – Х)² – 2 * Х * (8 – Х) * cos 120° = X² + (8 – X)² + X * (8 – X) =
X² + 64 – 16 * X + X² + 8 * X – X² = X² – 8 * X + 64
Тоді Х² – 8 * Х + 15 = 0
Х₁ = 3 Х₂ = 5
Отже сторони трикутника 3, 5 та 7 см, його площа
S = ½ * 3 * 5 * sin 120° = 7,5 * √ 3 / 2 = 15 * √ 3 / 4 см²
Радіус вписаного кола
r = 2 * S / (a + b + c) = 2 * (15 * √ 3 / 4) / (3 + 5 + 7) = √ 3 / 2 см.