Вопрос пользователя:
Стороны треугольника равны 5, 6 и 7. Найти площадь треугольника с вершинами в основании биссектрис углов.
Илюха отвечает:
по свойству биссектрисы
AR/AB = RC/BC
AR/AB = (AC – AR)/BC
AR = 35/11; RC = 42/11
AP/AC = (AB – AP)/BC
AP = 35/13; BP = AB – AP = 30/13
BQ/AB = (BC – BQ)/AC
BQ = 5/2; QC = BC – BQ = 7/2
S = S(ABC) = 6√6 (по формуле Герона)
S(PQR) = S – S(APR) – S(PBQ) – S(RQC)
S(ABC)/S(APR) = (AB·AC)/(AP·AR) (если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы)
S(APR) = S(ABC)·AP·AR/(AB·AC) = S·35/143
аналогично находятся S(RQC) = S·7/22 и S(PBQ) = S·5/26
S(PQR) = (210√6)/143