Вопрос от посетителя
стороны основания треугольной пирамиды 9,10 и 17. все боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 45 градусов. найдите объем пирамиды.
Отвечает Илюха:
Это задача на формулы Герона для площади и радиуса вписанной окружности. Дело в том, что когда у боковых граней пирамиды одинаковый уогл наклона, то вершина пирамиды проектируется на основание в центр вписанной окружности. Показать это легко – проекция будет равноудалена от сторон основания. на расстояние, равное
r = H*ctg(Ф), Н – высота пирамиды, Ф – двугранный угол при основании.
Далее, стороны a = 9, b = 10, c = 17, полупериметр p = 18, сомножители в формуле Герона p = 18, p – a = 9, p – b = 8, p – c = 1; площадь основания
(Sосн)^2 = 18*9*8*1 = (36)^2; Sосн = 36; r = Sосн/p = 2;
Раз угол Ф = 45 градусов, то r = H = 2;
V = Sосн*H/3 = 36*2/3 = 24;