Стороны АС, АВ, ВС треугольника АВС равны 3 корня из 2, корень из 14 и 1 соответственно. Точка К расположена вне треугольника АВС, причём отрезок КС пересекает сторону АВ в точке, отличной от В. Известно, что треугольник с вершинами К, А и С подобен исходному. Найдите косинус угла АКС, если угол КАС>90 градусов.

Вопрос пользователя:

Стороны АС, АВ, ВС треугольника АВС равны 3 корня из 2, корень из 14 и 1 соответственно. Точка К расположена вне треугольника АВС, причём отрезок КС пересекает сторону АВ в точке, отличной от В. Известно, что треугольник с вершинами К, А и С подобен исходному. Найдите косинус угла АКС, если угол КАС>90 градусов.

Илюха отвечает:

Треугольники АВС и КАС подобны (дано). Против большей стороны в треугольнике лежит больший угол и этот угол – тупой (дано).
В треугольнике АВС большая сторона АС=3√2≈4,2; средняя АВ=√14≈3,7; а меньшая ВС=1. Значит <АBC - тупой и равен В подобных треугольниках соответственные углы равны, а по условию прямая КС проходит между точками А и В, следовательно, Найдем косинус угла  АКС, определив косинус углв АСВ в треугольнике АВС по теореме косинусов:
Cos(AСВ)=(BC²+AC²-AB²)/(2*BC*AC).
Cos(AСВ)=(1+18-14)/(6√2)=5/6√5=5√2/12≈0,589.     Ответ: Cos(AKC)=5√2/12≈0,589.