Вопрос пользователя:
сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 3 см,а двугранный угол при основания равен 45 градусов Найдите: а) площадь поверхности пирамиды б) расстояние от вершины основания до противоположной боковой грани.
Илюха отвечает:
а) Пусть Н – середина ВС, тогда АН – медиана и высота правильного треугольника АВС, SH – медиана и высота равнобедренного треугольника SBC.
Тогда ∠SHO = 45° – линейный угол двугранного угла при ребре основания.
Sпов = Sосн + Sбок
Sосн = а²√3 /4, где а – сторона основания.
Sосн = 3² · √3 / 4 = 9√3/4 см²
Высота основания:
АН = а√3/2 = 3√3/2 см
ОН = 1/3 АН = √3/2 см
ΔSOH: ∠SOH = 90°, cos ∠SHO = OH / SH
SH = OH / cos∠SHO = √3/2 / (√2/2) = √3/√2 = √6/2 см
Sбок = 1/2Pосн · SH.
Sбок = 1/2 · 3 · 3 · √6/2 = 9√6/4 см²
Sпов = 9√3/4 + 9√6 / 4 = 9√3/4 (1 + √2) см²
б).
В ΔSAH проведем АК⊥SH.
Проекция АК на плоскость основания лежит на АН, значит перпендикулярна ВС, тогда и АК⊥ВС по теореме о трех перпендикулярах;
АК⊥SH по построению, значит АК перпендикулярен двум пересекающимся прямым плоскости SBC, значит АК⊥SBC.
Т.е. АК – искомое расстояние от вершины А до противолежащей боковой грани.
ΔАКН: ∠АКН = 90°, sin∠AHK = AK/AH
AK = AH · sin∠AHK = 3√3/2 · √2/2 = 3√6/4 см