Сколько натуральных чисел подряд, начиная с 1, надо взять, чтобы их сумма была трехзначным числом, состоящим из одинаковых цифр?

от

Вопрос от посетителя

Сколько натуральных чисел подряд, начиная с 1, надо взять, чтобы их сумма была трехзначным числом, состоящим из одинаковых цифр?

Отвечает Илюха:

Используем формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии:

S_n=frac{2a_1+(n-1)d}{2}cdot n

 

a_1=1; d=1

 

Формула принимает следующий вид:

S_n=frac{2cdot1+(n-1)cdot1}{2}cdot n=frac{2+n-1}{2}cdot n=frac{n+1}{2}cdot n=frac{n^2+n}{2}

 

n^2+n=2S_n

=0[/tex]

 

D=1^2-4cdot1cdot(-2S_n)}=1+8S_n” title=”n^2+n-2S_n=0″ title=”D=1^2-4cdot1cdot(-2S_n)}=1+8S_n” title=”n^2+n-2S_n=0″ alt=”D=1^2-4cdot1cdot(-2S_n)}=1+8S_n” title=”n^2+n-2S_n=0″ />

 

D=1^2-4cdot1cdot(-2S_n)}=1+8S_n” alt=”n^2+n-2S_n=0″ title=”D=1^2-4cdot1cdot(-2S_n)}=1+8S_n” alt=”n^2+n-2S_n=0″ alt=”D=1^2-4cdot1cdot(-2S_n)}=1+8S_n” alt=”n^2+n-2S_n=0″ />

 

D=1^2-4cdot1cdot(-2S_n)}=1+8S_n” />

Дискриминант должен являться точным квадратом, так как искомое n – натуральное число.

 

Трёхзначные числа, состоящие из одинаковых цифр: 111, 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888, 999

Выполняя подстановку в выражение 1+8S_n, получаем, что подходит число 666: 1+8*666=5329, это точный квадрат 73.

 

=0″ title=”D=1^2-4cdot1cdot(-2S_n)}=1+8S_n” />

Дискриминант должен являться точным квадратом, так как искомое n – натуральное число.

 

Трёхзначные числа, состоящие из одинаковых цифр: 111, 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888, 999

Выполняя подстановку в выражение 1+8S_n, получаем, что подходит число 666: 1+8*666=5329, это точный квадрат 73.

 

=0″ alt=”D=1^2-4cdot1cdot(-2S_n)}=1+8S_n” />

Дискриминант должен являться точным квадратом, так как искомое n – натуральное число.

 

Трёхзначные числа, состоящие из одинаковых цифр: 111, 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888, 999

Выполняя подстановку в выражение 1+8S_n, получаем, что подходит число 666: 1+8*666=5329, это точный квадрат 73.

 

=0″ />

 

n^2+n-1332=0″ title=”n^2+n-1332=0″ alt=”n^2+n-1332=0″ />

 

n_1=frac{-1+73}{2}=36″ title=”n^2+n-2cdot 666=0″ title=”n_1=frac{-1+73}{2}=36″ title=”n^2+n-2cdot 666=0″ alt=”n_1=frac{-1+73}{2}=36″ title=”n^2+n-2cdot 666=0″ />

 

n^2+n-1332=0″ title=”n^2+n-1332=0″ alt=”n^2+n-1332=0″ />

 

n_1=frac{-1+73}{2}=36″ alt=”n^2+n-2cdot 666=0″ title=”n_1=frac{-1+73}{2}=36″ alt=”n^2+n-2cdot 666=0″ alt=”n_1=frac{-1+73}{2}=36″ alt=”n^2+n-2cdot 666=0″ />

 

n^2+n-1332=0″ title=”n^2+n-1332=0″ alt=”n^2+n-1332=0″ />

 

n_1=frac{-1+73}{2}=36″ />

 

[tex]n_2=frac{-1-73}{2}=-37<0" title="n_1=frac{-1+73}{2}=36″ />

 

[tex]n_2=frac{-1-73}{2}=-37<0" alt="n_1=frac{-1+73}{2}=36″ />

 

[tex]n_2=frac{-1-73}{2}=-37<0" /> (не подходит)

 

Ответ: 36 чисел.

 

 

Добавить свой ответ