Вопрос пользователя:
сколько диоганалей можно провести из вершины выпуклого многоугольника, если сумма величин его углов равна 2700⁰?
Илюха отвечает:
Сумма углов выпуклого многоугольника равна 180(n-2), где n – количество вершин (сторон).
180n=2700 + 360
n=3060:180=17
Это многоугольник с 17 углами.
Количество диагоналей в таком многоугольнике можно определить по формуле
d=(n² – 3n):2
Объясню, откуда она взялась.
Пусть n — число вершин многоугольника, вычислим d — число возможных разных диагоналей.
Каждая вершина соединена диагоналями со всеми другими вершинами, кроме двух соседних и, естественно, себя самой. Таким образом,
из одной вершины можно провести n − 3 диагонали;
перемножим это на число вершин (n -3 ) n
Но так как каждая диагональ посчитана дважды ( по разу для каждого конца), то получившееся число надо разделить на 2.
d=(n² – 3n):2
По этой формуле нетрудно найти, что у треугольника — 0 диагоналей у прямоугольника — 2 диагонали у пятиугольника — 5 диагоналей у шестиугольника — 9 диагоналей и т.д.
У 17-угольника
d=(n² – 3n):2 =119 диагоналей.