Вопрос от посетителя:
решить задачу коши
y”-2y’+y=sinx; y(0)=0 , y'(0)=1
Илюха отвечает:
Решение: Решаем линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами:
y”-2y’+y=0 (*)
Пишем характеристическое уравнение t^2-t-1=0, решаем его:
D=1^2+4*1=5
t1=(1+корень(5)) 2
t2=(1-корень(5)) 2
Характерисическое решение имеет два корня =(1+корень(5)) 2 кратности 1 и (1-корень(5)) 2 кратности 1, поэтому общее решения уравнения (*) имеет вид:
y=c1 * e^((1+корень(5)) 2)*x ) + c2* e^((1-корень(5)) 2)*x ) .
Правая часть исходного уравнения имеет вид sinx, гамма равно альфа+бэта*i=1 – (1 не есть корнем характеристического уравнения) , поэтому частное решение уравнения
y”-2y’+y=sinx (**) ищем методом неопределенных коэффициентов в виде
y=c*cos x+d*sinx
y’=-c*sin x+ d*cos x
y’’=-c*cos x-d*sin x. Подставляем функцию и ее производные в (**), получим
-c*cos x-d*sin x-2*(-c*sin x+ d*cos x)+ c*cos x+d*sinx= sinx, или после приведения подобных членов:
2с*sin x-2d*cos x=sin x. Приравниваем соответствующие коэффициенты получаем систему:
2с=1
-2d=0
Откуда c=12,d=0.
Таким образом частное решение имеет вид:
y=12*cos x.
Общее решение исходного уравенения имеет вид y=c1 * e^((1+корень(5)) 2)*x ) + c2* e^((1-корень(5)) 2)*x )+ 12*cos x.
(производная равна y’=c1*((1+корень(5)) 2) * e^((1+корень(5)) 2)*x ) + c2*((1-корень(5)) 2)* e^((1-корень(5)) 2)*x )-12*sin x.)
Используя условия y(0)=0 , y'(0)=1, щем решение задачи Коши:
0=с1* e^((1+корень(5)) 2)*0 ) + c2* e^((1-корень(5)) 2)*0 )+ 12*cos 0=с1+с2+12.
1= c1*((1+корень(5)) 2) * e^((1+корень(5)) 2)*0 ) + c2*((1-корень(5)) 2)* e^((1-корень(5)) 2)*0 )-12*sin 0= c1*((1+корень(5)) 2)+ c2*((1-корень(5)) 2).
0= с1+с2+12.
1= c1*((1+корень(5)) 2)+ c2*((1-корень(5)) 2).
c1=-12-c2
1=(-12-c2)*((1+корень(5)) 2)+ c2*((1-корень(5)) 2)= (-1-корень(5)) 4+c2*((-1-корень(5)) 2)+(1-корень(5)) 2)= (-1-корень(5)) 4-c2*корень(5).
c2=(-5-5*корень(5))4*корень(5)5=(-1-корень(5))4
с1=-12-c2=(-1+корень(5))20. Таким образом решением задачи Коши есть функция
y= ((-1+корень(5))4) * e^((1-корень(5)) 2)*x ) + (-1-корень(5))4)* e^((1-корень(5)) 2)*x )
+ 12*cos x.
Ответ: y= ((-1+корень(5))4) * e^((1-корень(5)) 2)*x ) + (-1-корень(5))4)* e^((1-корень(5)) 2)*x )
+ 12*cos x.