Решите уравнение cos4x – cosx = 0 и укажите количество корней из промежудка [0;4пи].

от

Вопрос от посетителя

Решите уравнение cos4x – cosx = 0 и укажите количество корней из промежудка [0;4пи].

Отвечает Илюха:

cos 4x-cos x=0 2cos^22x-1-cos x=0 2(2cos x-1)^2-1-cos x=0 2(4cos^2x-4cos x+1)-1-cos x=0 8cos^2x-8cos x+2-1-cos x=0 8cos^2x-9cos x+1=0

Пусть cos x=t~(|t|leq 1), получим квадратное уравнение относительно t:

8t^2-9t+1=0 D=b^2-4ac=(-9)^2-4cdot 8cdot1=49 t_1=dfrac{-b+sqrt{D}}{2a}=dfrac{9+7}{2cdot8} =1 t_2=dfrac{-b-sqrt{D}}{2a}=dfrac{9-7}{2cdot8} =dfrac{1}{8}

Возвращаемся к обратной замене

cos x=1~~Rightarrow~~~ x=2pi n,n in mathbb{Z} cos x=frac{1}{8}~~~Rightarrow~~~ x=pm arccosfrac{1}{8}+2pi n,n in mathbb{Z}

Отбор корней из промежутка принадлежащих [0;4π]:

1. Для корня x=2pi n,n in mathbb{Z}

Если n=0 то x=0

Если n=1 то x=2pi

Если n=2 то x=4pi

2. Для корня x=pm arccosfrac{1}{8}+2pi n,n in mathbb{Z}

Если n=0, то x=arccosfrac{1}{8}

Если n=1, то x=pmarccosfrac{1}{8}+2pi

Если n=2, то x=-arccosfrac{1}{8}+4pi

Добавить свой ответ