Вопрос пользователя:
Решите уравнение 2sin2x-4cosx+3sinx-3=0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [пи; (5пи)/2]. С чувством, с толком с расстановкой, пожалуйста, если можно.)
Илюха отвечает:
2sin2x-4cosx+3sinx-3=0
4sinxcosx-4cosx+3sinx-3=0 – используем формулу двойного угла (sin2x=2sinxcosx)
4cosx(sinx-1)+3(sinx-1)=0 – выносим 4cosx и 3 за скобки
(sinx-1)(4cosx+3)=0 – выносим общую скобку
1.
sinx-1=0
sinx=1
x=p/2+2pk; k принадлежит Z.
или
2.
4cosx+3=0
4cosx=-3
cosx=-3/4
x=+-arccos(3/4)+2pk; k принадлежит Z.
Т.к. нам нужны корни, принадлежащие интервалу [пи; 5пи/2], подставляем значения k в полученные уравнения:
1. При k=1, x=5p/2, что входит в нужный интервал, ибо скобки квадратные, т.е. включают в себя конечные точки.
2. Подставив k=1, получим х=arccos 3/4+2p; т.к. arccos 3/4 – это примерно 41 градус, то видим, что полученный корень так же входит в нужный нам интервал.