Решите совокупность неравенств:

Вопрос от посетителя:

$x^4+6x^3+7x^2geq6(x+4)}$

$frac{x-1}{2x+1}geqsqrt{frac{x-1}{2x+1}}+6*sqrt[4]{frac{x-1}{2x+1}}$

Решим сначала второе неравенство:

Сделаем замену переменной:

$t=sqrt[4]{frac{x-1}{2x+1}}, tgeq0$

Тогда получим следующее неравенство:

$t^4-t^2-6tgeq0, t(t-2)(t^2+2t+3)geq0, tgeq2.$

Неравенство решено с учетом неотрицательности t. Теперь имеем:

$sqrt[4]{frac{x-1}{2x+1}}geq2, frac{x-1}{2x+1}geq16, frac{31x+17}{2x+1}leq0.$

(+) (-) (+)

——————(-17/31)\\\(-1/2)—————-

Итак решением данного неравенства является область: $[-frac{17}{31}, -frac{1}{2}).$

Теперь обратимся к первому неравенству:

$x^2(x^2+6x+7)geq6(x+4).$

Или в виде многочлена:

$x^4+6x^3+7x^2-6x-24geq0.$

Многочлен в левой части не имеет целых корней. Перебором возможных целых чисел находим области, в которых содержатся корни. Это области:

(-5; -4) и (1;2). Далее методом последовательных приближений находим приближенные значения корней: -4,4 и 1,4

(+) (-) (+)

/////////////////(-4,4)————-(1,4)/////////////

Решением совокупности неравенств является объединение (а не пересечение) областей:

(-беск; -4,4] v [-17/31;-1/2) v [1,4; беск) (числа -4,4 и 1,4 – приближенные)