Вопрос пользователя:
Решите пожалуйста, очень срочно надо) В правильную треугольную призму вписан правильный тетраэдр так, что его основание совпадает с нижним основанием призмы, а вершина находится в центре ее верхнего основания. Сторона основания призмы равно а, ее высота – h. Найдите длину бокового ребра вписанной пирамиды и ее апофему.
Илюха отвечает:
ну просто же. Проекции ребер пирамиды на основание – это радиусы ОПИСАННОЙ окружности, а проекции апофем – радиусы ВПИСАННОЙ окружности (если просто нарисуете себе чертежик, то избавите меня от нудного объяснения почему это так :))) – там все очень просто). В правильном треугольнике со стороной а радиус описанной окружности R = a/корень(3); (теорема синусов сразу дает это соотношение). Радиус вписанной окружности для правильного теругольника – в 2 раза меньше. Это проще всего увидеть, если вспомнить, что в правильном треугольнике совпадают цетры вписанной и описанной окружностей и точка пересечения медиан. А медиана делится в точке пересечения их в отношеии 2/1, и меньшая часть – как раз и есть расстояние от центра до стороны, то есть радиус вписанной окружности. Итак, r = a/(2*корень(3));
Высота пирамиды равна высоте призмы h, и дальше надо просто записать теорему Пифагора.
Боковая сторона равна корень(a^2/3 + h^2); апофема корень(a^2/12 + h^2);
Это ответ.