Вопрос пользователя:
Решите пожалуйстаа!)) Заранее спасибо!)
2. Точка М равноудалена от всех вершин равнобедренного прямоугольного треугольника АСВ (<С=90⁰), АС=ВС=4 см. Расстояние от точки М до плоскости треугольника равно 2√3 см.
1) Докажите, что плоскость АМВ перпендикулярна плоскости АВС.
2) Какой угол плоскость ВМС составляет с плоскостью АВС?
3) Найдите угол между МС и плоскостью АВС.
4) Найдите расстояние от точки Е-середины стороны АС до плоскости ВМС.
Илюха отвечает:
1.Поскольку М равноудалена от вершин АВС, то её проекция О на поскость ABC тоже равноудалена от вершин, то есть О – центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника АВС. Поэтому О лежит точно в середине гипотенузы.
СО перпендикулярно АВ, поскольку треугольник равнобедренный, и медиана одновременно – высота. МО перпендикулярно СО, поскольку МО вообще перпендикулярно плоскости АВС. Поэтому плоскости АВС и АМС взамино перпендикулярны, а угол МОС – их двугранный угол, равный, само собой, 90 градусов. Далее "пп" означает "перпендикулярно" "тр" – "треугольник" "птр" – прямоугольный "тр" :)))
2. ОР пп АВ; СР = РВ = РО = 2; МО = 2*SQRT(3); Поэтому tg(MPO) = 1/SQRT(3);
Угол МРО = 60 градусам.
3. В птр OMC СО = АС*sin(45) = 2*SQRT(2); MO = 2*SQRT(3); tg(MCO) = SQRT(3/2);
4. Достаточно найти расстояние от точки О до плоскости МСВ, поскольку ЕО параллельно ВС, а – следовательно, и всей плоскости ВМС.
К – высота в птр ОМР,
ОК = ОР*sin(MPO) = 2*SQRT(3)/2 = SQRT(3)