Вопрос пользователя:
Разность сторон правильных треугольника и четырёхугольника, вписанных в одну окружность, равна 2 см. Найдите периметр правильного шестиугольника, описанного около этой окружности.
Илюха отвечает:
Пусть R – радиус данной окружности.
Тогда сторона квадрата вписанного в эту окружность:
a = (2R)/√2 = R√2
Сторона правильного треугольника,вписанного в эту окружность равна b.
Тогда высота этого тр-ка:
h = (b√3)/2
Радиус же равен ⅔ высоты:
R = ⅔h = (b√3)/3
Отсюда выражаем b:
b = R√3
По условию: b-a=2, R(√3 – √2) = 2
Отсюда радиус данной окр-ти:
R = 2/(√3 – √2), или домножив на сопряженное знаменателю:
R = 2(√3 + √2)
Сторона правильного 6-ника описанного около этой окружности:
с = 2R*tg30⁰ = 4√3(√3 + √2)/3 = 4(3+√6)/3
Тогда периметр:
Р = 6с = 8(3+√6)
Ответ: 8(3+√6) см.