Вопрос пользователя:
Равнобокая трапеция описана около окружности. Основания трапеции относятся как 3:4. Из вершины меньшего основания опущена высота на большее основание; точка Н-основание высоты. Из точки Н опущен перпендикуляр НЕ на боковую сторону трапеции. В каком отношении точка Е делит боковую сторону?
Илюха отвечает:
Пусть трапеция АВСD, СН перпендикулярно AD.
Обозначим AD = a, ВС = b; CD = c; CH = h, HD = x.
Задано b/a =3/4;
Боковая сторона равна средней линии трапеции. Это – потому, что описанный четырехугольник, суммы противоположных сторон равны. c = (a + b)/2;
Легко видеть, что x = (a – b)/2; (кто не видит – проведите высоту из В)
Еще легче увидеть, что h^2 = a*b (ну, из теоремы Пифагора)
НЕ – высота в прямоугольном треугольнике СHD, поэтому она делит треугольник на два, ему же подобных.
Если обозначить y = ED и z = CE, то
у/x = x/c; y = x^2/c;
z/h = h/c; z = h^2/c;
y/z = x^2/h^2 = (a – b)^2/(4*a*b) = (1 – b/a)^2/(4*b/a) = (1/4)^2/3 = 1/48
Мда, чего то мало получилось
А если так – пусть а = 8; b = 6; x = 1; c = 7; h = корень(48); ну, вобщем, не удивительно, действительно 1/48.