Вопрос от посетителя
Пусть в треугольнике ABC проведена биссектриса AK угла A.Докажите что AB_AC=KB:KC.Какие следствия можно получить из этого равенства?Верно ли обратное утверждение?Можно ли получить доказательство без использования теоремы синусов?
Отвечает Илюха:
Пусть угол АКВ=х, тогда уголАКС=180-х
Рассмотрим треугольник АВК по теореме синусов ВК:sin(А/2)=АВ:sinх
Отсюда sin(А/2)=(ВК*sinх)/АВ
Рассмотрим треугольник АКС по теореме син КС:sin(А/2)=АС:sin(180-х)
Отсуда sin(А/2)=(КС*sin(180-х))/АС
Левые части равны, равны и правые (ВК*sinх)/АВ= (КС*sin(180-х))/АС
sin(180-х)=sinх Значит ВК:АВ= КС:АС Осюда АВ:АС=ВК:КС
Следствия: АС:АВ=КС:КВ АВ*КС=АС*КВ