Вопрос от посетителя:
Прямая,перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника,отсекает от него четырехугольник,в который можно вписать окружность.Найдите радиус окружности,если отрезок этой прямой,заключенный внутри треугольника,равен 14,а отношение катетов треугольника равно 7/24
Илюха отвечает:
Пусть исходный треугольник АВС с вершиной прямого угла в точке С.
АС = 24 * Х , ВС = 7 * Х. Тогда по теореме Пифагора АВ = 25 * Х.
Прямая пересекает катет АС в точке D, а катет АВ с точке Е.
Треугольники АВС и ADE подобны (прямоугольные с общим острым углом).
Тогда АЕ = 50 , AD = 48.
В четырехугольник CDEB можно вписать окружность, то есть CD + EB = DE + BC
14 + 7 * X = 25 * X – 48 + 24 * X – 50
14 + 7 * X = 49 * X – 98
42 * X = 112
X = 8/3 см.
Итак, катеты треугольника а = 56/3 и b = 64, гипотенуза 200/3 , а радиус
вписанной окружности r = (a + b – c)/2 = (56/3 + 64 – 200/3)/2 = 8 см.