Вопрос от посетителя:
При каких значениях A квадратные трехчлены x^2+ax+1 и x^2+x+a имеют общий корень?
Илюха отвечает:
Дискриминанты обоих уравнений должны быть неотрицательны:
a^2 – 4 >=0 a<=-2, a>=2
1 – 4a >=0 a<=1/4 Общая область: a<= -2
Не будем писать выражения для корней (решение слишком громоздкое). Воспользуемся лучше теоремой Виета:
Пусть х и у – корни первого уравнения, а х и z – корни второго. х – их общий корень. Тогда по теореме Виета имеем следующие уравнения для корней:
х + у = -а
ху = 1
x + z = -1
xz = a Имеем систему 4 уравнений с 4 неизвестными.
Из первого вычтем третье, а четвертое поделим на второе.
y – z = 1 – a y(1-a)= 1-a y = 1 значит из второго: х = 1
z/y = a z = ay
Подставив х и у в первое, получим 1 + 1 = – а, а = -2.
Удовлетворяет ОДЗ для а.
Ответ: при а = -2.