Вопрос от посетителя:
При каких значениях параметра p уравнение x4 − (3p + 4)x2 + p2 = 0 имеет ровно четыре действительных корня, образующих арифметическую прогрессию?
Илюха отвечает:
x^4-(3p+4)x^2+p^2=0
Пусть x^2=t
тогда уравнение примет вид
t^2-(3p+4)t+p^2=0
Данное уравнение имеет 2 корня, если дискриминант >0
D>0
D=b^2-4ac=(3p+4)^2-4*1*p^2=9p^2+24p+16-4p^2=5p^2+24p+16>0
Найдем корни уравнения 5p^2+24p+16=0
D=B^2-4ac=256
P1=-4
P2=-0,8
Методом интервалов находим, что 5p^2+24p+16>0 при
p от – бесконечности до -4 и от -0,8 до + бесконечности,
а так как x^2=t,nj исходное уравнение на этих интервалах имеет 4 корня