Вопрос пользователя:
По гладкой горизонтальной поверхности стола скользят навстречу друг другу горка со скоростью 0,5 м/с и шайба со скоростью 2 м/с. Шайба въезжает на горку, имеющую плавный переход к поверхности стола, движется без трения по горке, не отрываясь от неё и, не достигнув вершины горки, съезжает на стол. Найдите скорость (в м/с) съехавшей шайбы. Масса горки намного больше массы шайбы. Все скорости параллельны одной и той же вертикальной плоскости.
Если ответ не целый, округлите его до сотых.
Илюха отвечает:
Ищем скорость.
В покоящейся системе отсчета вдоль , полагая при этом, что начальный импульс системы P0=MV0г-mV0ш (скорость горки направлена в положительном направлении).
Будем решать задачу в системе отсчета, связанной с центром масс системы горка+шайба (Г+Ш). Скорость этой СО в неподвижной СО Vцм=P0m+M=MV0г-mV0шm+M => В системе цм для моментов времени въезда и съезда с горки скорость шайбы равна Uш=-Vш-Vцм, а скорость горки Uг=Vг-Vцм (0) =>
Скорости шайбы и горки в момент въезда:
U0ш=-V0ш-Vцм=-(V0ш+MV0г-mV0шm+M)=-Mm+M(V0ш+V0г) и U0г=mm+M(V0ш+V0г) =>
Импульсы шайбы и горки в этот момент:
P0ш=-Mmm+M(V0ш+V0г) и P0г=Mmm+M(V0ш+V0г).
Очевидно, P0ш+P0г=0, что и следовало ожидать, поскольку в СО цм импульс равен нулю.
Т.к. по отношению к Г+Ш вдоль горизонтали нет внешних сил, то горизонтальная составляющая импульса остается равной нулю, т.е. в момент съезда с горки Pш+Pг=0 => Pг=-Pш.
Тогда из ЗСЭ найдем P0ш22m+P0г22M=Pш22m+Pг22M => P0ш22(1m+1M)=Pш22(1m+1M) => Pш2=P0ш2 =>
Pш=±P0ш=(±)-Mmm+M(V0ш+V0г) => Uш=Pшm=(±)-Mm+M(V0ш+V0г) (1).
Из (0) => скорость шайбы в неподвижной СО Vш=-Uш-Vцм
Очевидно, что Pш=+Poш в (1) соответствует моменту въезда на горку и непосредственно можно убедиться, что Vш=V0ш
Pш=-Poш в (1) соответствует моменту съезда с горки и непосредственно получаем: Vш=-Mm+M(V0ш+V0г)-MV0г-mV0шm+M=-MV0ш-MV0г-MV0г+mV0шm+M=-MM+m(2V0г+V0ш)+mM+mV0ш
Очевидно, если M>>m, то MM+m≈1, а mM+m≈0 =>
Vш=-(2V0г+V0ш)=-(2⋅0.5+2)=-3
Знак минус означает, что в момент съезда шайба будет двигаться в противоположную сторону по отношению к направлению ее движения в момент въезда.